Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = - 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 16 t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $16$ es constante con respecto a $t$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 16 \int t {(4 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 4 t^{2} - 1$ . Entonces $d u = 8 t d t$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 4 t^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $4 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} - 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 t^{2} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t^{2}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$8 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $8 t$ y $0$ .

$8 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$s + C_{1} = 16 \int u^{3} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.3.3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{8}$ .

$s + C_{1} = 16 \int \frac{u^{3}}{8} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 16 (\frac{1}{8} \int u^{3} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $16$ .

$s + C_{1} = \frac{16}{8} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $16$ y $8$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8 (1)} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $- 5$ por $s$ en $s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$- 5 = \frac{1}{2} {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = - 5$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = - 5$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(4 - 1)}^{4} + K = - 5$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{4} + K = - 5$

Paso 4.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 + K = - 5$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $81$ .

$\frac{81}{2} + K = - 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{81}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 5 - \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$K = - 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Paso 4.3.3

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{- 5 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{- 5 \cdot 2 - 81}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$K = \frac{- 10 - 81}{2}$

Paso 4.3.5.2

Resta $81$ de $- 10$ .

$K = \frac{- 91}{2}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{91}{2}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{91}{2}$ por $K$ en $s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{91}{2}$ por $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(4 t^{2} - 1)}^{4} - \frac{91}{2}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$s = \frac{1}{2} ({(4 t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (4^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 {(t^{2})}^{4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{4}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{2 \cdot 4} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4 {(4 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.4

Aplica la regla del producto a $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4 (4^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $4$ por $4^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.5.1

Mueve $4^{3}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3} \cdot 4 {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.5.2

Multiplica $4^{3}$ por $4$ .

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Paso 5.2.2.5.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3} \cdot 4^{1} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{3 + 1} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 4^{4} {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.6

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 {(t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.7

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.2.2.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 t^{2 \cdot 3} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} + 256 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 {(4 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.9

Aplica la regla del producto a $4 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (4^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.11

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 6 (16 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.12

Multiplica $16$ por $6$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} \cdot 1 + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.14

Multiplica $96$ por $1$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 4 (4 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.15

Multiplica $4$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 16 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} + 16 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.17

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} - 16 t^{2} + {(- 1)}^{4}) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.2.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8} - 256 t^{6} + 96 t^{4} - 16 t^{2} + 1) - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s = \frac{1}{2} (256 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Factoriza $2$ de $256 t^{8}$ .

$s = \frac{1}{2} (2 (128 t^{8})) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{1}{2} (2 (128 t^{8})) + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.1.3

Reescribe la expresión.

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (- 256 t^{6}) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 256 t^{6}$ .

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (2 (- 128 t^{6})) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$s = 128 t^{8} + \frac{1}{2} (2 (- 128 t^{6})) + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (96 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $96 t^{4}$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (48 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (48 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (- 16 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 16 t^{2}$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 8 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.4.2

Cancela el factor común.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 8 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.4.3

Reescribe la expresión.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{91}{2}$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1}{2} - \frac{91}{2}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{1 - 91}{2}$

Paso 5.4

Resta $91$ de $1$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} + \frac{- 90}{2}$

Paso 5.5

Divide $- 90$ por $2$ .

$s = 128 t^{8} - 128 t^{6} + 48 t^{4} - 8 t^{2} - 45$