Cálculo Ejemplos

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ por $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Paso 2.2.1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\ln (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\ln (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x \ln (x)}$ y $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $\ln (x)$ de $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $\ln (x) y = e^{x} + C$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\ln (x) y = e^{x} + C$ por $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$