Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

Paso 1.2

Como $e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{2 x} y^{2}$ con respecto a $y$ es $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

Paso 1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} y - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{2 x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.4

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $2 y e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Paso 2.5.2

Reordena los factores de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Paso 2.5.3

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y e^{2 x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y e^{2 x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

Paso 5.2

Dado que $e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $e^{2 x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

Paso 5.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 5.7.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.4

Combina $- 2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.7.5.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Paso 5.7.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Paso 5.7.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 5.7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Paso 5.7.5.2.4

Divide $- y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 8.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.9

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.10

Combina $\frac{2 y^{2}}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.3.11.2

Divide $y^{2} e^{2 x}$ por $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.4

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $y^{2} e^{2 x}$ y $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

Paso 8.6.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Reordena los factores en $e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $y^{2} e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.2.2

Resta $y^{2} e^{2 x}$ de $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$