Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $\frac{y}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y x^{4} + \frac{y}{x}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $y x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $y$ de $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

Paso 1.2.2

Para escribir $x^{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

Paso 1.2.4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 1.2.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

Paso 1.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

Paso 1.2.4.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.5

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 3.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Paso 3.6.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 3.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Paso 3.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Paso 3.6.4

Resuelve $y$

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Paso 3.6.4.1

Reordena los factores en $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Paso 3.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ como $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$