Cálculo Ejemplos

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Sea $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Sustituye $v_{1}$ por todos los casos de $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Paso 2

Obtén $\frac{d v_{1}}{d x}$ mediante la diferenciación de $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Paso 4

Sea $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Sustituye $v_{2}$ por todos los casos de $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Paso 5

Obtén $\frac{d v_{2}}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{v_{1}}$ .

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = v_{1}$ .

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Paso 5.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Paso 5.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ como $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Paso 6

Sustituye $v_{2}$ por $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Paso 7

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Paso 8

Separa las variables.

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Paso 8.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 8.1.1

Multiplica ambos lados por $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2

Simplifica.

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Paso 8.1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.2.1.1

Simplifica $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

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Paso 8.1.2.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.3

Cancela el factor común de $v_{2} x$ .

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Paso 8.1.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.2.1.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.1.1.4.2

Reordena $\frac{d v}{d x}$ y $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Paso 8.1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.2.2.1

Simplifica $v (2 v x)$ .

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Paso 8.1.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Paso 8.1.2.2.1.2

Multiplica $v_{2}$ por $v_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.2.2.1.2.1

Mueve $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Paso 8.1.2.2.1.2.2

Multiplica $v_{2}$ por $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Paso 8.1.3

Suma $2 v_{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Paso 8.2

Factoriza $2 v_{2} x$ de $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2 v_{2} x$ de $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Paso 8.2.2

Factoriza $2 v_{2} x$ de $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Paso 8.2.3

Factoriza $2 v_{2} x$ de $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Paso 8.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Paso 8.4.3

Cancela el factor común de $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

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Paso 8.4.3.1

Factoriza $v_{2} (v_{2} + 1)$ de $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Paso 8.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Paso 8.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Paso 8.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Paso 9

Integra ambos lados.

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Paso 9.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Paso 9.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 9.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 9.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.3

Cancela el factor común de $v_{2}$ .

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Paso 9.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v_{2} + 1$ .

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Paso 9.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1.5.1

Cancela el factor común de $v_{2}$ .

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Paso 9.2.1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5.1.2

Divide $A (v_{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $v_{2} + 1$ .

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Paso 9.2.1.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Paso 9.2.1.1.5.4.2

Divide $B v_{2}$ por $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Paso 9.2.1.1.6

Mueve $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Paso 9.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 9.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v_{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 9.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v_{2}$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 9.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 9.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 9.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Paso 9.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 9.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Paso 9.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Paso 9.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 9.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Paso 9.2.1.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 9.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1$

Paso 9.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1$

Paso 9.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Paso 9.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Paso 9.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Paso 9.2.3

La integral de $\frac{1}{v_{2}}$ con respecto a $v_{2}$ es $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Paso 9.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Paso 9.2.5

Sea $u_{3} = v_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = d v_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 9.2.5.1

Deja $u_{3} = v_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

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Paso 9.2.5.1.1

Diferencia $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Paso 9.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v_{2} + 1$ con respecto a $v_{2}$ es $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Paso 9.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ es $n {v_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Paso 9.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $v_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $v_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Paso 9.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Paso 9.2.7

Simplifica.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 9.3

Integra el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Paso 9.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 9.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 9.3.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 9.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Paso 9.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Paso 9.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Paso 10

Resuelve $v_{2}$

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Paso 10.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Paso 10.2

Para resolver $v_{2}$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Paso 10.3

Reescribe $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Paso 10.4

Resuelve $v_{2}$

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Paso 10.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Paso 10.4.2

Multiplica ambos lados por $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Paso 10.4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.3.1

Cancela el factor común de $| u_{3} |$ .

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Paso 10.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Paso 10.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Paso 10.4.4

Resuelve $v_{2}$

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Paso 10.4.4.1

Reordena los factores en $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Paso 10.4.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Paso 11

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 11.1

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Paso 11.2

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Paso 11.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $v_{2}$ con $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Paso 13

Resuelve $v$

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Paso 13.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Paso 13.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Expande $\ln (e^{v_{1}})$ ; para ello, mueve $v_{1}$ fuera del logaritmo.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Paso 13.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Paso 13.2.3

Multiplica $v_{1}$ por $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Paso 13.3

Expande el lado derecho.

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Paso 13.3.1

Reescribe $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ como $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Paso 13.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{3} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Paso 13.3.3

Expande $\ln (e^{x^{2}})$ ; para ello, mueve $x^{2}$ fuera del logaritmo.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Paso 13.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Paso 13.3.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Paso 13.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $v_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Paso 15

Resuelve $y$

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Paso 15.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 15.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Paso 15.1.2

Combina los términos opuestos en $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 15.1.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Paso 15.1.2.2

Suma $\ln (C | u_{3} |)$ y $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Paso 15.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Paso 15.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 15.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Paso 15.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Paso 15.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Paso 16

Como $y$ no es negativa en la condición inicial $(0, 0)$ , solo considera $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ para obtener $C$ . Sustituye $0$ por $x$ y $0$ por $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Paso 17

Resuelve $C$

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Paso 17.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Paso 17.2

Resuelve $C$

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Paso 17.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Paso 17.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 17.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ como ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 17.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.2.2.1

Simplifica ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 17.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 17.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 17.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 17.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Paso 17.2.2.2.1.2

Simplifica.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Paso 17.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Paso 17.2.3

Resuelve $C$

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Paso 17.2.3.1

Para resolver $C$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Paso 17.2.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{3} |) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Paso 17.2.3.3

Resuelve $C$

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Paso 17.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Paso 17.2.3.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Paso 17.2.3.3.3

Divide cada término en $C | u_{3} | = 1$ por $| u_{3} |$ y simplifica.

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Paso 17.2.3.3.3.1

Divide cada término en $C | u_{3} | = 1$ por $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Paso 17.2.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $| u_{3} |$ .

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Paso 17.2.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Paso 17.2.3.3.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Paso 18

Sustituye $\frac{1}{| u_{3} |}$ por $C$ en $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ y simplifica.

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Paso 18.1

Sustituye $\frac{1}{| u_{3} |}$ por $C$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Paso 18.2

Cancela el factor común de $| u_{3} |$ .

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Paso 18.2.1

Cancela el factor común.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Paso 18.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Paso 18.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Paso 18.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Paso 18.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 0$