Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Supón $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Paso 1.2

Combina $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ y $\sqrt{x^{2}}$ en un solo radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Divide $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide la fracción $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Paso 6.1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $0$ y $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Completa el cuadrado.

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Expande $(1 + V) (1 - V)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Paso 6.2.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Paso 6.2.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Paso 6.2.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- V$ por $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.3

Multiplica $V$ por $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - V + V - V \cdot V$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.5

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Suma $- V$ y $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - V^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Reordena $1$ y $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Paso 6.2.2.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Paso 6.2.2.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.2.2.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1.4.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.2.2.1.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 6.2.2.1.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 6.2.2.1.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 6.2.2.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.2.2.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Paso 6.2.2.1.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e = 1$

Paso 6.2.2.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = V + 0$ . Entonces $d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = V + 0$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V + 0$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Paso 6.2.2.2.1.4

Como $0$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $0$ con respecto a $V$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Reordena $- u^{2}$ y $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Suma $V$ y $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior del arcoseno.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$