Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.6

Divide $y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.2.4

Divide $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.4.1.2

Simplifica.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$