Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = 3 e^{t} - 7$ , $x (0) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d x = (3 e^{t} - 7) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d x = \int 3 e^{t} - 7 d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$x + C_{1} = \int 3 e^{t} - 7 d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C_{1} = \int 3 e^{t} d t + \int - 7 d t$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x + C_{1} = 3 \int e^{t} d t + \int - 7 d t$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 3 (e^{t} + C_{2}) + \int - 7 d t$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$x + C_{1} = 3 (e^{t} + C_{2}) - 7 t + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$x + C_{1} = 3 e^{t} - 7 t + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$x + C_{1} = - 7 t + 3 e^{t} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$x = - 7 t + 3 e^{t} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $x$ en $x = - 7 t + 3 e^{t} + K$ .

$1 = - 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K = 1$ .

$- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica $- 7 \cdot 0 + 3 e^{0} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$0 + 3 e^{0} + K = 1$

Paso 4.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + K = 1$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3 + K = 1$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$3 + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 3$

Paso 4.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$K = - 2$

Paso 5

Sustituye $- 2$ por $K$ en $x = - 7 t + 3 e^{t} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 2$ por $K$ .

$x = - 7 t + 3 e^{t} - 2$