Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x + 1}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(x + 1)}^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x + 1}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x + 1}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = 1$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = 1$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = x + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Reordena $x {(x + 1)}^{2}$ y $C {(x + 1)}^{2}$ .

$y = C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4

Simplifica $C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C ((x + 1) (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = C (x^{2} + x + x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$y = C (x^{2} + 2 x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (x^{2}) + C (2 x) + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.5

Simplifica.

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Paso 8.4.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.5.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.6

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x ((x + 1) (x + 1))$

Paso 8.4.1.7

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.4.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 8.4.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 8.4.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 8.4.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.4.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 8.4.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 8.4.1.8.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 8.4.1.8.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 8.4.1.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 8.4.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Paso 8.4.1.10

Simplifica.

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Paso 8.4.1.10.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.10.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.4.1.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Paso 8.4.1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1$

Paso 8.4.1.10.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1$

Paso 8.4.1.10.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

Paso 8.4.1.10.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x$

Paso 8.4.1.11

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.11.1

Mueve $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 (x \cdot x) + x$

Paso 8.4.1.11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x^{2} + x$

Paso 8.4.2

Reordena.

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Paso 8.4.2.1

Mueve $C$ .

$y = C x^{2} + 2 C x + x^{3} + 2 x^{2} + C + x$

Paso 8.4.2.2

Mueve $2 C x$ .

$y = C x^{2} + x^{3} + 2 C x + 2 x^{2} + C + x$