Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Paso 2.3.2

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{3}$ por $t$ y de $\frac{1}{2}$ por $y$ en $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Paso 4.3.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.5.1

Divide $2$ por $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Paso 4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Paso 5

Sustituye $1 - \frac{π}{3}$ por $K$ en $y = t - \cos (t) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1 - \frac{π}{3}$ por $K$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$