Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + x y y' = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$x^{2} + y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Paso 2.1.1.2

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ por $x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.2.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

Paso 3

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V^{- 1} - V$

Paso 4

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 5

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 6

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V^{- 1} - V$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Separa las variables.

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Paso 7.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 7.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{V} - V$

Paso 7.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - V - V$

Paso 7.1.1.2.2

Resta $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$

Paso 7.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 7.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 7.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$

Paso 7.1.2

Factoriza.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$ .

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Paso 7.1.2.1.1

Reordena $- \frac{1}{x V}$ y $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x} - \frac{1}{x V}$

Paso 7.1.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - \frac{1}{x V}$

Paso 7.1.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{x V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$

Paso 7.1.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} + \frac{1}{x V})$

Paso 7.1.2.2

Para escribir $\frac{2 V}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{x V})$

Paso 7.1.2.3

Multiplica $\frac{2 V}{x}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V \cdot V}{x V} + \frac{1}{x V})$

Paso 7.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V \cdot V + 1}{x V}$

Paso 7.1.2.5

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.5.1

Mueve $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 1}{x V}$

Paso 7.1.2.5.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{x V}$

Paso 7.1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{V}{2 V^{2} + 1}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2 V^{2} + 1} (- \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 7.1.5

Simplifica.

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Paso 7.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} (\frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 7.1.5.2

Multiplica $\frac{2 V^{2} + 1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Paso 7.1.5.3

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 7.1.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{V}{2 V^{2} + 1}$ al numerador.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Paso 7.1.5.3.2

Factoriza $V$ de $- V$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Paso 7.1.5.3.3

Factoriza $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V (x)}$

Paso 7.1.5.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Paso 7.1.5.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Paso 7.1.5.4

Cancela el factor común de $2 V^{2} + 1$ .

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Paso 7.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Paso 7.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 7.1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2

Integra ambos lados.

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Paso 7.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Sea $u = 2 V^{2} + 1$ . Entonces $d u = 4 V d V$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Deja $u = 2 V^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Diferencia $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2} + 1]$

Paso 7.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 V^{2} + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d V} [2 V^{2}]$ .

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Paso 7.2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $2 V^{2}$ con respecto a $V$ es $2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 V) + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 V + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.2.2.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$4 V + 0$

Paso 7.2.2.1.1.4.2

Suma $4 V$ y $0$ .

$4 V$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 7.2.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 7.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7.3

Resuelve $V$

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Paso 7.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |)) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |))$ .

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Paso 7.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica $4 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |)) + 4 C$

Paso 7.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Paso 7.3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Paso 7.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.4.1

Simplifica $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Paso 7.3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.4.1.1.1

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Paso 7.3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Paso 7.3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4}) = 4 C$

Paso 7.3.4.1.3

Reordena los factores en $\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4})$ .

$\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$

Paso 7.3.5

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |)} = e^{4 C}$

Paso 7.3.6

Reescribe $\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} | 2 V^{2} + 1 |$

Paso 7.3.7

Resuelve $V$

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Paso 7.3.7.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ .

$x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$

Paso 7.3.7.2

Divide cada término en $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ por $x^{4}$ y simplifica.

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Paso 7.3.7.2.1

Divide cada término en $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 7.3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.7.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 7.3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 7.3.7.2.2.1.2

Divide $| 2 V^{2} + 1 |$ por $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 7.3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 V^{2} + 1 = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 7.3.7.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$

Paso 7.3.7.5

Divide cada término en $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.3.7.5.1

Divide cada término en $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.7.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.7.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.7.5.2.1.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 7.3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.7.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7.3.7.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 7.3.7.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.3.7.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$

Paso 7.3.7.7.2

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.3.7.7.3

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.3.7.7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.7.7.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.3.7.7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.3.7.7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.3.7.7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.7.7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.3.7.7.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.3.7.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.7.7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.7.7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.7.7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.7.7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.7.7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.3.7.7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3.7.7.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Paso 7.3.7.7.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Paso 7.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 7.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Paso 7.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Paso 8

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$ en $y$ .

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Paso 9.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Paso 9.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.1

Simplifica $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1.1.1

Combina $C$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1 \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{- x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C - x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.5

Combina $2$ y $\frac{C - x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.6

Reescribe $\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}$ como ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))$ .

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Paso 9.2.2.1.1.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $2 (C - x^{4})$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.6.2

Factoriza la potencia perfecta ${(x^{2})}^{2}$ de $x^{4}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C - x^{4})}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.1.8

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ .

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

Paso 9.2.2.1.3

Combinar.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

Paso 9.2.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1.4.1

Multiplica $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ por $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

Paso 9.2.2.1.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{2 x^{2}}) x$