Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.2.4.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $7$ y $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

Paso 3.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Combina $\frac{7}{4}$ y $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

Paso 3.2.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 3.2.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Combina $K$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

Paso 3.2.5

Reescribe $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $7 x^{4} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

Paso 3.2.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.2.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

Paso 3.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Paso 3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$