Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $9 y^{2} - 4$ por $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $3 y + 2$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $3 y - 2$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Paso 1.2.5.2

Divide $6 x^{2}$ por $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Dado que $9$ es constante con respecto a $y$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Paso 4.2.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Paso 4.3

Simplifica $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Paso 4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$16 + K = 0$

Paso 4.4

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 16$

Paso 5

Sustituye $- 16$ por $K$ en $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 16$ por $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$