Cálculo Ejemplos

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.3.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.4

Combina $\frac{4}{y}$ y $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $y e^{2 x}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $y e^{2 x}$ de $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $4 t$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4 t$ fuera de la integral.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Paso 3.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 3.2.3

Simplifica.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 t \ln (| y |) = x + C$ por $4 t$ y simplifica.

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Paso 4.1.1

Divide cada término en $4 t \ln (| y |) = x + C$ por $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Paso 4.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Paso 4.3

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Paso 4.4

Resuelve $y$

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Paso 4.4.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Paso 4.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$