Cálculo Ejemplos

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Paso 1.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.9.1

Multiplica $3 + 2 x y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Paso 1.9.2

Suma $4 x y^{2}$ y $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Paso 1.9.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} + x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Paso 2.9

Suma $2 y^{2} x + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Paso 2.10.2

Combina los términos.

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6 y^{2} x + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 y^{2} x + 3$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Paso 5.4

Dado que $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ .

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + y^{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.3

Como $3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.8

Suma $0$ y $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.10

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.13

Multiplica $3 x + y^{2} x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.14

Suma $2 x^{2} y^{2}$ y $y^{2} x^{2}$ .

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Paso 8.3.14.1

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.3.14.2

Suma $2 x^{2} y^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Simplifica $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

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Paso 9.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 9.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Paso 9.1.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 9.1.2.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Paso 9.1.2.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

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Paso 9.1.2.3.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Paso 9.1.2.3.2

Suma $3 x - 3$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Paso 9.1.2.3.3

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Paso 9.1.2.3.4

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 3$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = - 3 y + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Paso 12.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Paso 12.3

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Paso 12.3.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 12.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Paso 12.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Paso 12.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$