Cálculo Ejemplos

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x - y + 6$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Paso 2.6

Combina los términos.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Paso 2.6.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $1$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $1$ por $M$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Paso 4.3.2

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.3

Sustituye $1$ por $M$ .

$1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int d y}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Paso 6

Multiplica $1$ por $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{y} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{y} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 11.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

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Paso 12.1.2.1

Resta $x e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $- y e^{y} + 6 e^{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- y e^{y} + 6 e^{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Paso 13.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Paso 13.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Paso 13.6

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Paso 13.7

Dado que $6$ es constante con respecto a $y$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Paso 13.8

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Paso 13.10

Suma $e^{y}$ y $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$