Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x}$ of $y = - 2 x + 5$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$

Paso 2

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ por $y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ por $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x + 5}{y}$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - 2 x + 5$

Paso 2.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = (- 2 x + 5) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - 2 x + 5 d x$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x + 5 d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Paso 3.3.2

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x + \int 5 d x$

Paso 3.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 5 d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Paso 3.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + 5 x + K$

Paso 4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica $2 (- x^{2} + 5 x + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 K$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 10 x + 2 K$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 10 x + 2 K}$

Paso 4.4

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 10 x + 2 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 10 x + 2 K}$

Paso 4.4.2

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Paso 4.4.3

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Paso 4.4.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K}$

Paso 4.4.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$