Cálculo Ejemplos

$(4 + 5 y) d x + (1 + 5 x) d y = 0$

Paso 1

Resta $(4 + 5 y) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 + 5 x) d y = - (4 + 5 y) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ .

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + 5 x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $4 + 5 y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ al numerador.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $4 + 5 y$ de $(1 + 5 x) (4 + 5 y)$ .

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{1 + 5 x} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 + 5 y} d y = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 4 + 5 y$ . Entonces $d u_{1} = 5 d y$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 4 + 5 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $4 + 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 + 5 y]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 5 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Paso 4.2.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [5 y]$

Paso 4.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 4.2.1.1.4

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 + 5 y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 1 + 5 x$ . Entonces $d u_{2} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 1 + 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Paso 4.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.3.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 4.3.2.1.4

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 5} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |)) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (| 4 + 5 y |)$ .

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $\ln (| 1 + 5 x |)$ y $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C \cdot \frac{5}{5})$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + \frac{C \cdot 5}{5})$

Paso 5.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Paso 5.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Paso 5.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5$

Paso 5.2.2.1.4

Mueve $5$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + 5 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 4 + 5 y |) + \ln (| 1 + 5 x |) = 5 C$

Paso 5.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + 5 y | | 1 + 5 x |) = 5 C$

Paso 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (4 + 5 y) (1 + 5 x) |) = 5 C$

Paso 5.6

Expande $(4 + 5 y) (1 + 5 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 (1 + 5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Paso 5.7.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Paso 5.7.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Paso 5.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 \cdot (5 y x) |) = 5 C$

Paso 5.7.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$

Paso 5.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |)} = e^{5 C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 C} = | 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |$

Paso 5.10

Resuelve $y$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$ .

$| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$

Paso 5.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 + 20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C}$

Paso 5.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.10.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4$

Paso 5.10.3.2

Resta $20 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Paso 5.10.4

Factoriza $5 y$ de $5 y + 25 y x$ .

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Paso 5.10.4.1

Factoriza $5 y$ de $5 y$ .

$5 y (1) + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Paso 5.10.4.2

Factoriza $5 y$ de $25 y x$ .

$5 y (1) + 5 y (5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Paso 5.10.4.3

Factoriza $5 y$ de $5 y (1) + 5 y (5 x)$ .

$5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Paso 5.10.5

Divide cada término en $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ por $5 (1 + 5 x)$ y simplifica.

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Paso 5.10.5.1

Divide cada término en $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ por $5 (1 + 5 x)$ .

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.10.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.2.2

Cancela el factor común de $1 + 5 x$ .

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Paso 5.10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.10.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.10.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.1.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $5$ .

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Paso 5.10.5.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 20 x$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.10.5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4 x}{1 + 5 x}$

Paso 5.10.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x}$

Paso 5.10.5.3.2

Para escribir $- \frac{4 x}{1 + 5 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $5 (1 + 5 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.10.5.3.3.1

Multiplica $\frac{4 x}{1 + 5 x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{(1 + 5 x) \cdot 5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.3.2

Reordena los factores de $(1 + 5 x) \cdot 5$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5 - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 5.10.5.3.6

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$