Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d t} = \frac{(2 + t^{4})}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza $u t^{2}$ de $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $u t^{2}$ de $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $u t^{2}$ de $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $u t^{2}$ de $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Paso 1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Paso 1.1.4

Factoriza.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Paso 1.1.4.1.2

Reescribe $- 1 u$ como $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Paso 1.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.2

Multiplica $u$ por $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.3

Multiplica $u$ por $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.4

Expande $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.5

Combina los términos opuestos en $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

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Paso 1.4.5.1

Reordena los factores en los términos $u \cdot u^{2}$ y $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.5.2

Resta $u^{2} u$ de $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.5.3

Suma $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ y $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.6.1

Multiplica $u$ por $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.3

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.6.3.1

Mueve $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.3.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.4

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.5

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.6.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.6.5.2

Suma $2$ y $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.7

Combina los términos opuestos en $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

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Paso 1.4.7.1

Suma $- u^{2}$ y $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.7.2

Suma $u$ y $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Paso 1.4.8

Multiplica $\frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$ por $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Paso 1.4.9

Elimina los paréntesis.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.10

Multiplica $u + u^{4}$ por $\frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.11.1

Factoriza $u$ de $u + u^{4}$ .

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Paso 1.4.11.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.1.2

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.1.3

Factoriza $u$ de $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.1.4

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.4

Simplifica.

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Paso 1.4.11.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.11.4.2

Reescribe $- 1 u$ como $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.12

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 1.4.12.1

Cancela el factor común.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.12.2

Reescribe la expresión.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.13

Cancela el factor común de $1 + u$ .

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Paso 1.4.13.1

Cancela el factor común.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.13.2

Reescribe la expresión.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.14

Cancela el factor común de $1 - u + u^{2}$ .

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Paso 1.4.14.1

Cancela el factor común.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Paso 1.4.14.2

Reescribe la expresión.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.7

Reordena $u$ y $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.8

Mueve $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.9

Reordena $u$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.10

Mueve $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.11

Reordena $u$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.12

Mueve $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.13

Reordena $u$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.14

Mueve $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.15

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.16

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.17

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.18

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.19

Factoriza el negativo.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.20

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.21

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.23

Suma $1$ y $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.24

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.25

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.26

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.27

Suma $1$ y $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.28

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.29

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.30

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.31

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.32

Suma $1$ y $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.33

Factoriza el negativo.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.34

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.35

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.36

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.37

Suma $1$ y $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.38

Factoriza el negativo.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.39

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.40

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.41

Suma $2$ y $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.42

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.43

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.44

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.45

Suma $1$ y $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.46

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.47

Suma $2$ y $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.48

Reordena $u$ y $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.49

Mueve $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.50

Reordena $- u^{2}$ y $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.51

Reordena $u^{2}$ y $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.52

Mueve $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.53

Reordena $- u^{3}$ y $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.54

Mueve $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.55

Mueve $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.56

Reordena $u^{3}$ y $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.57

Resta $u^{3}$ de $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.58

Suma $u^{4}$ y $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.59

Resta $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.60

Suma $u^{4}$ y $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Paso 2.3.2

Multiplica $(2 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3

Multiplica $t^{4}$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Paso 2.3.3.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{2} d t$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Paso 2.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

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Paso 2.3.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 2 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Paso 2.3.8.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Paso 2.3.8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + K$