Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x^{2} + C) x^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $8$ por $y$ en $y = x^{4} + C x^{2}$ .

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ .

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Paso 10.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Paso 10.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$4 C = 8 - 16$

Paso 10.3.2

Resta $16$ de $8$ .

$4 C = - 8$

Paso 10.4

Divide cada término en $4 C = - 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 10.4.1

Divide cada término en $4 C = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 10.4.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Paso 10.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.3.1

Divide $- 8$ por $4$ .

$C = - 2$

Paso 11

Sustituye $- 2$ por $C$ en $y = x^{4} + C x^{2}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $- 2$ por $C$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$