Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $1 + x^{3}$ de $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $y$ de $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Paso 2.5.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Paso 2.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Paso 2.6

Combina $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Paso 3.3.2

Sea $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.2.1

Deja $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Diferencia $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Paso 3.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 3.3.2.1.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2.1.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2.1.3.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2.1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.3.12

Multiplica $1 - x + x^{2}$ por $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4

Combina los términos.

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Paso 3.3.2.1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.9

Suma $- x$ y $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.10

Suma $- 1$ y $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.11

Suma $x + 2 x^{2}$ y $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.12

Resta $x$ de $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.13

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.14

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 3.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 3.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 3.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Paso 4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Paso 4.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Paso 4.5

Resuelve $y$

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Paso 4.5.2

Multiplica ambos lados por $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Paso 4.5.3

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.3.1.1

Cancela el factor común de $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Paso 4.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Paso 4.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Paso 4.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.2.1

Simplifica $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

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Paso 4.5.3.2.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.5.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Mueve $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Suma $1$ y $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.2

Combina los términos opuestos en $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Paso 4.5.3.2.1.2.2.1

Suma $- x$ y $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.2.2

Suma $1 + x^{2}$ y $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.2.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Paso 4.5.3.2.1.2.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Paso 4.5.4

Resuelve $y$

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Paso 4.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Paso 4.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Paso 5.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | 1 + x^{3} |$