Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{20 x} + 4 x - 24$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{20 x} + 4 x - 24) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{20 x} + 4 x - 24 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{20 x} + 4 x - 24 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{20 x} d x + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 20 x$ . Entonces $d u = 20 d x$ , de modo que $\frac{1}{20} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 20 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $20 x$ .

$\frac{d}{d x} [20 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $20$ por $1$ .

$20$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{20} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{20}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{20} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{20}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{20}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} \int e^{u} d u + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + \int 4 x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 \int x d x + \int - 24 d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 24 d x$

Paso 2.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 24 x + C_{4}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{20} (e^{u} + C_{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) - 24 x + C_{4}$

Paso 2.3.9.2

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{e^{u}}{20} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 x$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{20 x}}{20} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Paso 2.3.11

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{20} e^{20 x} + 2 x^{2} - 24 x + C_{5}$

Paso 2.3.12

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{20} e^{20 x} - 24 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{1}{20} e^{20 x} - 24 x + K$