Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Paso 2.1.1.1.1.2

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Paso 2.1.1.1.1.3

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Paso 2.1.1.1.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Paso 2.1.1.1.2

Reordena los factores en $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Paso 2.1.2

Suma $2 y \cot (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Paso 2.2

Factoriza $y$ de $y + 2 y \cot (x)$ .

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Paso 2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Paso 2.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Paso 2.2.3

Factoriza $y$ de $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Paso 2.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Paso 2.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Paso 3.3.4

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Paso 3.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Paso 4.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| \sin (x) |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Paso 4.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Paso 4.2.1.3

Multiplica por $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Paso 4.2.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Paso 4.2.1.5

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Paso 4.2.1.6

Divide $| y |$ por $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Paso 4.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Paso 4.5

Resuelve $y$

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ por $\csc^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término en $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ por $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $\csc^{2} (x)$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 5.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$