Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combinar.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $3$ de $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Paso 3.4.4

Combina $3$ y $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 3.4.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 3.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Paso 3.4.7.5.5

Simplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Paso 3.4.8

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.10

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Paso 5.2

Divide $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Paso 5.3

Resuelve $K$

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Paso 5.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ como ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 + K \cdot 1$ por $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.4

Multiplica $K$ por $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.3

Multiplica.

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Paso 5.3.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.3.2

Simplifica.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Paso 5.3.3

Resuelve $K$

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Paso 5.3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.3.1.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 K = 27 + 3$

Paso 5.3.3.1.2

Suma $27$ y $3$ .

$3 K = 30$

Paso 5.3.3.2

Divide cada término en $3 K = 30$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Divide cada término en $3 K = 30$ por $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Paso 5.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.2.3.1

Divide $30$ por $3$ .

$K = 10$

Paso 6

Sustituye $10$ por $K$ en $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $10$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$