Cálculo Ejemplos

$(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 5 x + 3 e^{y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x + 3 e^{y}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 3 e^{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Paso 1.2.2

Como $5 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 e^{y}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 e^{y}$

Paso 1.4

Suma $0$ y $3 e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x e^{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x e^{y}]$

Paso 2.2

Como $2 e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{y}$ con respecto a $x$ es $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 e^{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{y} = 2 e^{y}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 e^{y} = 2 e^{y}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3 e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 e^{y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 e^{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x e^{y}$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x e^{y}$ por $N$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $3 e^{y} - 1 \cdot 2 e^{y}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $e^{y}$ de $3 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 - 1 \cdot 2 e^{y}}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $e^{y}$ de $- 1 \cdot 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{e^{y} (3 - 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{y} (3 - 2)}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.2.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{e^{y} \cdot 1}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.3

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$ por el factor integrador $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $5 x + 3 e^{y}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x + 3 e^{y}) x^{\frac{1}{2}} d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(5 x^{\frac{1}{2} + 1} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(5 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $2 x e^{y}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) e^{y} d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) e^{y} d y = 0$

Paso 6.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} e^{y} d y = 0$

Paso 6.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{y} d y = 0$

Paso 6.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} e^{y} d y = 0$

Paso 6.5.5

Suma $1$ y $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $2 x^{\frac{3}{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{\frac{3}{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} \int e^{y} d y$

Paso 8.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} (e^{y} + C)$

Paso 8.3

Simplifica.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $2 e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ con respecto a $x$ es $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.8

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.10

Combina $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $e^{y}$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.11

Factoriza $2$ de $6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3.12.4

Divide $3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ por $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d g}{d x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Obtén un factor común $x^{\frac{3}{2}}$ que esté presente en cada término.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 12.1.2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} = 0$

Paso 12.1.3

Resuelve $u$

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Paso 12.1.3.1

Simplifica ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Paso 12.1.3.1.1

Combina los términos opuestos en ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

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Paso 12.1.3.1.1.1

Resta $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ de $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u + 0 = 0$

Paso 12.1.3.1.1.2

Suma ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u$ y $0$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 12.1.3.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.1.3.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.3.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.1.2.2

Simplifica.

$\frac{d g}{d x} - 5 u = 0$

Paso 12.1.3.2

Resta $\frac{d g}{d x}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 u = - \frac{d g}{d x}$

Paso 12.1.3.3

Divide cada término en $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 12.1.3.3.1

Divide cada término en $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Paso 12.1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 12.1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Paso 12.1.3.3.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Paso 12.1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Paso 12.1.4

Sustituye $\frac{d g}{d x}$ por $u$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int x^{\frac{3}{2}} d x$ .

$g (x) = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Paso 13.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$ .

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Paso 15.1

Combina $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ y $x$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{x \frac{d g}{d x}}{5} + C$