Cálculo Ejemplos

$(1 + y^{2}) d x + (x^{2} - 3 x + 2) d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} - 3 x + 2) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (x^{2} - 3 x + 2) d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 3 x + 2$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (x^{2} - 3 x + 2) d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})}$ al numerador.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (x^{2} - 3 x + 2)} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (x^{2} - 3 x + 2)} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.3.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.3.2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Paso 4.3.2.1.2

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.6.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.3.2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.2.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 4.3.2.1.6.5.2

Divide $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

Paso 4.3.2.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

Paso 4.3.2.1.6.7

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A x - A + B x - 2 B$

Paso 4.3.2.1.7

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A - 2 B$

Paso 4.3.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 4.3.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 4.3.2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 4.3.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.2.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 4.3.2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 4.3.2.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 4.3.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A - 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) - 2 B$ .

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Paso 4.3.2.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.2

Resta $2 B$ de $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 4.3.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Paso 4.3.2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 4.3.2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Paso 4.3.2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 1$

Paso 4.3.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

Paso 4.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.4

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.3.4.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.7

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.7.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.7.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.3.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{4}$

Paso 4.3.10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.3.10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C_{4}$

Paso 4.3.10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

Paso 5

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (- \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C)$