Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Paso 1.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{3 x}{y}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Paso 1.3

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.3.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina $3$ y $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Paso 6.1.1.1.3

Combina $V$ y $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $V$ de $- V - V \cdot 2$ .

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Factoriza $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factoriza $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factoriza $V$ de $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Para escribir $\frac{3}{V}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Para escribir $- \frac{3 V}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $V \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.3.1

Multiplica $\frac{3}{V}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3.2

Multiplica $\frac{3 V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3.3

Reordena los factores de $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.5.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.2

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Mueve $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Combinar.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Paso 6.1.1.3.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Combinar.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Paso 6.1.4.2

Combinar.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Paso 6.1.4.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Paso 6.1.4.6

Cancela el factor común de $2 - V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $V$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = 2 - V^{2}$ . Entonces $d u = - 2 V d V$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = 2 - V^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Diferencia.

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Paso 6.2.2.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - V^{2}$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $2$ con respecto a $V$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

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Paso 6.2.2.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $- V^{2}$ con respecto a $V$ es $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Paso 6.2.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 V$

Paso 6.2.2.2.1.4

Resta $2 V$ de $0$ .

$- 2 V$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.2.2.6.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.6.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Simplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\ln (| 2 - V^{2} |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 2 - V^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Paso 6.3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Paso 6.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.1

Simplifica $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Paso 6.3.4.1.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 6.3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Paso 6.3.5

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Paso 6.3.6

Reescribe $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Paso 6.3.7

Resuelve $V$

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Paso 6.3.7.1

Reescribe la ecuación como $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Paso 6.3.7.2

Divide cada término en $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ y simplifica.

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Paso 6.3.7.2.1

Divide cada término en $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 6.3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.7.2.2.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

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Paso 6.3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 6.3.7.2.2.1.2

Divide $| 2 - V^{2} |$ por $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 6.3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 6.3.7.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Paso 6.3.7.5

Divide cada término en $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.7.5.1

Divide cada término en $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.7.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.7.5.2.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.7.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.7.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.7.5.3.1.3

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Paso 6.3.7.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Combina $C$ y $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Paso 8.2.2.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Paso 8.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Paso 8.2.2.1.4

Reescribe $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ como ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Paso 8.2.2.1.4.2

Factoriza la potencia perfecta ${| x |}^{2}$ de ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.6

Reescribe $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.7

Combinar.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.8

Multiplica $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ por $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.9

Multiplica $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.2

Mueve $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Paso 8.2.2.1.10.3

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Paso 8.2.2.1.10.4

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Paso 8.2.2.1.10.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7

Reescribe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ como $| x |$ .

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Paso 8.2.2.1.10.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.10.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Paso 8.2.2.1.10.7.5

Simplifica.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Paso 8.2.2.1.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Paso 8.2.2.1.12

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Paso 8.2.2.1.13

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1.13.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Paso 8.2.2.1.13.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Paso 8.2.2.1.14

Reordena los factores en $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$