Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \sec (x) d x}$

Paso 2.2

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec (x) + \tan (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $\sec (x) (\sec (x) y)$ .

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Paso 3.2.3.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2.3.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

Paso 3.4

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 3.4.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

Paso 3.4.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

Paso 3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

Paso 3.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 3.5

Reordena los factores en $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 7.2

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 7.3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 7.4

Divide la única integral en varias integrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 7.5

Aplica la regla de la constante.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 7.6

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

Paso 7.7

Simplifica.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ por $\sec (x) + \tan (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ por $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 8.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$