Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3} - y^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.2

Para escribir $\frac{d y}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 1) y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Combina $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.3.2

Reordena los factores de $(y - 1) y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.3

Reescribe $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.5.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.1.1.5.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.1.5.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Paso 1.1.2

Establece el numerador igual a cero.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

Paso 1.1.3

Resuelve la ecuación en $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

Paso 1.1.3.1.2

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x} y^{2}$ de $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $\frac{d y}{d x} y^{2}$ de $\frac{d y}{d x} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Paso 1.1.3.2.2

Factoriza $\frac{d y}{d x} y^{2}$ de $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

Paso 1.1.3.2.3

Factoriza $\frac{d y}{d x} y^{2}$ de $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

Paso 1.1.3.3

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ por $y^{2} (y - 1)$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.3.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ por $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.1.3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y^{2} (y - 1)$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y^{2} (y - 1)$ de $- y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Multiplica $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.2.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$