Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (2 x^{3} + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $4 x^{3} + 2 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Paso 4

Como $y$ es negativa en la condición inicial $(- 1, - 2)$ , solo considera $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $- 1$ por $x$ y $- 2$ por $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Paso 5

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ como ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Simplifica ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.2

Aplica la regla del producto a $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.4

Multiplica ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.5

Multiplica los exponentes en ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Paso 5.4

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 K = 4 + 4$

Paso 5.4.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$2 K = 8$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $2 K = 8$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $2 K = 8$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Divide $8$ por $2$ .

$K = 4$

Paso 6

Sustituye $4$ por $K$ en $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Sustituye $4$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Paso 6.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Paso 6.2.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Paso 6.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$