Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} - x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int - x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{x^{2}}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + K$