Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} - \frac{5}{t} \cdot y = t^{5}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = - \frac{5}{t}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{5}{t} d t}$

Paso 1.2

Integra $- \frac{5}{t}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{5}{t} d t}$

Paso 1.2.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{t} d t)}$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{t} d t}$

Paso 1.2.4

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| t |) + C)}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

$e^{- 5 \ln (| t |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 5 \ln (t)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (t^{- 5})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$t^{- 5}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{5}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{t^{5}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{1}{t^{5}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{t^{5}} (- \frac{5}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{t^{5}}$ y $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} + \frac{1}{t^{5}} (- \frac{5}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{1}{t^{5}} (\frac{5}{t} y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{5}{t}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{1}{t^{5}} \cdot \frac{5 y}{t} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.4

Multiplica $- \frac{1}{t^{5}} \cdot \frac{5 y}{t}$ .

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{5 y}{t}$ por $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t \cdot t^{5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $t$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $t$ por $t^{5}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{1} t^{5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{1 + 5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $t^{5}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = 1$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{5}} y] = 1$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{5}} y] d t = \int d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{t^{5}} y = \int d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{t^{5}} y = t + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{t^{5}}$ y $y$ .

$\frac{y}{t^{5}} = t + C$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados por $t^{5}$ .

$\frac{y}{t^{5}} t^{5} = (t + C) t^{5}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $t^{5}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{t^{5}} t^{5} = (t + C) t^{5}$

Paso 7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (t + C) t^{5}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica $(t + C) t^{5}$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = t \cdot t^{5} + C t^{5}$

Paso 7.3.2.1.2

Multiplica $t$ por $t^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.1.2.1

Multiplica $t$ por $t^{5}$ .

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Paso 7.3.2.1.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$y = t^{1} t^{5} + C t^{5}$

Paso 7.3.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = t^{1 + 5} + C t^{5}$

Paso 7.3.2.1.2.2

Suma $1$ y $5$ .

$y = t^{6} + C t^{5}$

Paso 7.3.2.1.3

Reordena $t^{6}$ y $C t^{5}$ .

$y = C t^{5} + t^{6}$