Cálculo Ejemplos

$6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Divide cada término en $6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$ por $6$ .

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 (3)} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.1

Multiplica $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.12

Mueve $v^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.14

Combina $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.15

Reescribe $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Paso 5.16

Multiplica $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.17

Multiplica $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.17.1

Mueve $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Paso 5.17.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 5.17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 5.17.4

Suma $2$ y $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Factoriza $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4

Multiplica $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.2.1.4.1

Mueve $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5

Simplifica $\frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.7

Combina $v$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{v}{3}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8.2

Factoriza $3$ de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 1 = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.2.1.10

Multiplica $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 7.1.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} + v = - 1 \cdot 3 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 (2)} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 \cdot 2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.4

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Paso 7.1.1.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.4.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Paso 7.1.1.3.4.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.4.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.5

Multiplica $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.3.5.1

Mueve $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Paso 7.1.1.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Paso 7.1.1.3.5.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{0}{3}}$

Paso 7.1.1.3.5.5

Divide $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{0}$

Paso 7.1.1.3.6

Simplifica $- \frac{x}{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2}$

Paso 7.1.2

Reescribe la ecuación con coeficientes aislados.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{1}{2} x$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- \frac{1}{2} x)$

Paso 7.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{x} x$

Paso 7.3.3

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{e^{x}}{2} x$

Paso 7.3.4

Combina $x$ y $\frac{e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$

Paso 7.3.5

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - \frac{x e^{x}}{2}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - \frac{x e^{x}}{2}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} v = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} v = - \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Paso 7.7.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int x e^{x} d x)$

Paso 7.7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 7.7.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Paso 7.7.5

Simplifica.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 7.8

Divide cada término en $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 7.8.1

Divide cada término en $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.3.1

Combina en una fracción.

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Paso 7.8.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.1.2

Reordena los factores en $- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$v = \frac{- (x e^{x} - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{(- (x e^{x}) - - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.2

Multiplica $- - e^{x}$ .

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Paso 7.8.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + 1 e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.2.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{- x e^{x} \frac{1}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.4

Multiplica $- x e^{x} \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.8.3.2.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$v = \frac{- \frac{x}{2} e^{x} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.4.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.5

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + \frac{e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.7

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Paso 7.8.3.2.7.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.7.2

Multiplica por $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.7.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.8

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.9

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.8.3.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.11.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.2.11.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Paso 7.8.3.4

Multiplica $\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{x} x$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.6

Factoriza $- 1$ de $e^{x}$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) - 1 (- e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (e^{x} x) - 1 (- e^{x})$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.8

Factoriza $- 1$ de $2 C$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 7.8.3.10.1

Reescribe $- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ como $- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ .

$v = \frac{- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v = - \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 7.8.3.10.3

Reordena los factores en $- \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$ .

$v = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Paso 8

Sustituye $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$