Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 6.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 6.1.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 6.1.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Paso 9.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Paso 9.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 9.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Paso 9.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Paso 10

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $C$ en $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Paso 10.2.2

Combinar.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$