Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x} y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((x + 1) e^{- x} y^{2})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $(x + 1) e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + 1 e^{- x}$

Paso 1.2.3

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (x e^{- x} + e^{- x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.8

Sea $u_{2} = - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.8.1

Deja $u_{2} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.10

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - (e^{u_{2}} + C_{3})$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.11.2

Resta $e^{u_{2}}$ de $- e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C_{4}$

Paso 2.3.12

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reordena los términos.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Reordena los factores en $- e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $- x y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $- 2 y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.4

Factoriza $y$ de $y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x})$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.5

Factoriza $y$ de $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ por $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ por $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Paso 3.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + K}$

Paso 3.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + K}$

Paso 3.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) + K}$

Paso 3.3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)}$

Paso 3.3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.3.7.1

Reescribe $- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ como $- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.3.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Paso 3.3.3.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Paso 3.3.3.3.7.4

Multiplica $\frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} + K}$