Cálculo Ejemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(x + 1) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Paso 1.6

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (| x |)$ y $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Paso 5.4

Simplifica.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Paso 6

Divide cada término en $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Paso 7

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $10$ por $y$ en $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Paso 8

Resuelve $C$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1.1.1

Multiplica $\ln (| 1 |)$ por $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(1 + 1) \cdot 10$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$- 1 + C = 20$

Paso 8.4

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 20 + 1$

Paso 8.4.2

Suma $20$ y $1$ .

$C = 21$

Paso 9

Sustituye $21$ por $C$ en $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Sustituye $21$ por $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$