Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.2

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

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Paso 2.2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.8

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.8.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.2.8.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 2.2.8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.2.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.9

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.11

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.12

Simplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.13.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.13.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.13.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.14

Simplifica.

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Paso 2.2.14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.14.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Paso 2.2.14.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.14.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.2.15

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$