Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = x^{5} - 9$ . Entonces $d u = 5 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = x^{5} - 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x^{5} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 9]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Paso 2.3.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5} - 9$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 9)}^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 9)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 9)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 9)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2.2

Resta $9$ de $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 8)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 512 + K = 5$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{15}$ y $- 512$ .

$\frac{- 512}{15} + K = 5$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{512}{15} + K = 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{512}{15}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 5 + \frac{512}{15}$

Paso 4.3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{512}{15}$

Paso 4.3.3

Combina $5$ y $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{512}{15}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 512}{15}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $5$ por $15$ .

$K = \frac{75 + 512}{15}$

Paso 4.3.5.2

Suma $75$ y $512$ .

$K = \frac{587}{15}$

Paso 5

Sustituye $\frac{587}{15}$ por $K$ en $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{587}{15}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + \frac{587}{15}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{3}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 81 + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $81$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 243 x^{5} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.2.6

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 243 x^{5} - 729) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Combina $\frac{1}{15}$ y $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 (5)} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.2.2

Factoriza $3$ de $- 27 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 (5)} (3 (- 9 x^{10})) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 \cdot 5} (3 (- 9 x^{10})) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{5} (- 9 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.3

Combina $- 9$ y $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9}{5} x^{10} + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.4

Combina $\frac{- 9}{5}$ y $x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.5.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 (5)} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.5.2

Factoriza $3$ de $243 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 (5)} (3 (81 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.5.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} (3 (81 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.5.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{5} (81 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.6

Combina $81$ y $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81}{5} x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.7

Combina $\frac{81}{5}$ y $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.8.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 (5)} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.8.2

Factoriza $3$ de $- 729$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 243) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.8.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 243) + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.8.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 243 + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.4.9

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 243$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243}{5} + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243}{5} + \frac{587}{15}$

Paso 5.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243}{5} + \frac{587}{15}$

Paso 5.3

Para escribir $- \frac{243}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{587}{15}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{243}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{587}{15}$

Paso 5.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243 \cdot 3}{15} + \frac{587}{15}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243 \cdot 3 + 587}{15}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 243$ por $3$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 729 + 587}{15}$

Paso 5.6.2

Suma $- 729$ y $587$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 142}{15}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{142}{15}$