Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.2.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.5.2

Suma $8$ y $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{11}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{13}$ por $0$ .

$0 + K = 0$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 0$

Paso 5

Sustituye $0$ por $K$ en $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Paso 5.2

Suma $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ y $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Paso 5.3

Combina $\frac{2}{13}$ y $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$