Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{y}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Paso 1.2.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Paso 1.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Paso 1.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y + y x$ .

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Paso 1.2.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.5

Multiplica $y$ por $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{1}{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$