Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} - {(x y)}^{2}$ , $y (3) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + x y) (y - (x y))$

Paso 1.1.2

Simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $y$ de $y + x y$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{1} + x y) (y - (x y))$

Paso 1.1.2.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + x y) (y - (x y))$

Paso 1.1.2.1.3

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y x) (y - (x y))$

Paso 1.1.2.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - (x y))$

Paso 1.1.2.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - x y)$

Paso 1.1.2.3

Factoriza.

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Paso 1.1.2.3.1

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y^{1} - x y)$

Paso 1.1.2.3.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 - x y)$

Paso 1.1.2.3.1.3

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 + y (- x))$

Paso 1.1.2.3.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y (1 - x))$

Paso 1.1.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) y (1 - x)$

Paso 1.1.2.4

Combina exponentes.

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Paso 1.1.2.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y (1 + x) (1 - x)$

Paso 1.1.2.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y^{1} (1 + x) (1 - x)$

Paso 1.1.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = y^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)$

Paso 1.1.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + x) (1 - x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + x) (1 - x))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 - x)$

Paso 1.3.2

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Paso 1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Paso 1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x + x (- x)$

Paso 1.3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x \cdot x$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Paso 1.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x^{2}$

Paso 1.3.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{2}$

Paso 1.3.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 3, 1, 1$

Paso 3.2.2

Como $y, 3, 1, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 3, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.5

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 3.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.7

El MCM de $1, 3, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 3.2.8

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.2.9

El MCM de $y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 3.2.10

El MCM para $y, 3, 1, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ por $3 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ por $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.1.2

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 (y)) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 3 = - x^{3} y + x (3 y) + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + K (3 y)$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + 3 K y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$ .

$- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y$ de $- x^{3} y$ .

$y (- x^{3}) + 3 x y + 3 K y = - 3$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $3 x y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + 3 K y = - 3$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y$ de $3 K y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + y (3 K) = - 3$

Paso 3.4.2.4

Factoriza $y$ de $y (- x^{3}) + y (3 x)$ .

$y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K) = - 3$

Paso 3.4.2.5

Factoriza $y$ de $y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K)$ .

$y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ por $- x^{3} + 3 x + 3 K$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ por $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) - (- 3 x) + 3 K}$

Paso 3.4.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) + 3 K}$

Paso 3.4.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $3 K$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)}$

Paso 3.4.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Paso 3.4.3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.3.3.7.1

Reescribe $- (x^{3} - 3 x - 3 K)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Paso 3.4.3.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Paso 3.4.3.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Paso 3.4.3.3.7.4

Multiplica $\frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ .

$1 = \frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$ .

$\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{27 - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{3}{27 - 9 + K} = 1$

Paso 6.2.3

Resta $9$ de $27$ .

$\frac{3}{18 + K} = 1$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$18 + K, 1$

Paso 6.3.2

Elimina los paréntesis.

$18 + K, 1$

Paso 6.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$18 + K$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $\frac{3}{18 + K} = 1$ por $18 + K$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $\frac{3}{18 + K} = 1$ por $18 + K$ .

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $18 + K$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Paso 6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 = 1 (18 + K)$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Multiplica $18 + K$ por $1$ .

$3 = 18 + K$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $18 + K = 3$ .

$18 + K = 3$

Paso 6.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 3 - 18$

Paso 6.5.2.2

Resta $18$ de $3$ .

$K = - 15$

Paso 7

Sustituye $- 15$ por $K$ en $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 15$ por $K$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 15}$