Cálculo Ejemplos

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

Paso 1.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.4.3.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

Paso 1.4.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

Paso 1.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

Paso 1.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

Paso 1.4.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4.3.6

Suma $y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y (x + 3 y + 2)$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3 y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

Paso 2.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.8.1

Multiplica $x + 3 y + 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

Paso 2.4.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

Paso 2.5.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

Paso 2.5.2.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

Paso 2.5.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

Paso 2.5.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

Paso 2.5.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.6

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.9

Suma $0$ y $x$ .

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.10

Suma $x$ y $0$ .

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3

Combina los términos.

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Paso 8.5.3.1

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.3.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.7

Suma $y^{2} x$ y $2 x y^{2}$ .

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Paso 8.5.3.7.1

Reordena $y^{2}$ y $x$ .

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.3.7.2

Suma $x y^{2}$ y $2 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 8.5.4

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Simplifica $x y (x + 3 y + 2)$ .

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Paso 9.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

Paso 9.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Paso 9.1.1.4

Simplifica.

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Paso 9.1.1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.1.4.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Paso 9.1.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Paso 9.1.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

Paso 9.1.1.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

Paso 9.1.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.1.5.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

Paso 9.1.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

Paso 9.1.2.2

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

Paso 9.1.2.3

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Paso 9.1.2.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ .

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Paso 9.1.2.4.1

Reordena los factores en los términos $3 x y^{2}$ y $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Paso 9.1.2.4.2

Resta $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

Paso 9.1.2.4.3

Suma $x^{2} y + 2 x y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

Paso 9.1.2.4.4

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Paso 9.1.2.4.5

Suma $2 x y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Paso 9.1.2.4.6

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Paso 12.3.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.2.1

Mueve $y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

Paso 12.3.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 12.3.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

Paso 12.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

Paso 12.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$