Cálculo Ejemplos

$x (1 - y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $x (1 - y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y (1 - x^{2}) d y = - x (1 - y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (y (1 - x^{2})) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 - x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 - x^{2}$ de $y (1 - x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} ((1 - x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} ((1 - x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 - y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{1 - y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{1 - y^{2}} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{1^{2} - y^{2}} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (- x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 - y^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})}$ al numerador.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $1 - y^{2}$ de $(1 - x^{2}) (1 - y^{2})$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} (x (1 - y^{2})) d x$

Paso 3.5.3

Factoriza $1 - y^{2}$ de $x (1 - y^{2})$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} ((1 - y^{2}) x) d x$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{(1 - y^{2}) (1 - x^{2})} ((1 - y^{2}) x) d x$

Paso 3.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} x d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 1}{1 - x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{1 - x^{2}} d x$

Paso 3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{1^{2} - x^{2}} d x$

Paso 3.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{- x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = (1 + y) (1 - y)$ . Entonces $d u_{1} = - 2 y d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = (1 + y) (1 - y)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 + y$ y $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + y)$ como $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 4.2.1.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 4.2.1.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.3.11

Multiplica $1 - y$ por $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Paso 4.2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 4.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Paso 4.2.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Paso 4.2.1.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- y + 0 - y$

Paso 4.2.1.1.4.2.3

Suma $- y$ y $0$ .

$- y - y$

Paso 4.2.1.1.4.2.4

Resta $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Paso 4.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + x)$ como $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.3.11

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Paso 4.3.2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.3.2.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Paso 4.3.2.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- x + 0 - x$

Paso 4.3.2.1.4.2.3

Suma $- x$ y $0$ .

$- x - x$

Paso 4.3.2.1.4.2.4

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.8

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.9

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Expande $(1 + y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3

Combina $\ln (| 1 - y^{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.5

Multiplica.

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Paso 5.2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.1.1.5.2

Multiplica $\ln (| 1 - y^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 - x^{2} |)$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - (\ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2)$

Paso 5.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - (\ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C)$

Paso 5.2.2.1.5

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.2.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) - (2 C)$

Paso 5.2.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) - 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 - y^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = - 2 C$

Paso 5.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{2} | | 1 - x^{2} |) = - 2 C$

Paso 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (1 - y^{2}) (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.6

Expande $(1 - y^{2}) (1 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 (1 - x^{2}) - y^{2} (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} (1 - x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.7.2

Multiplica $- x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} - y^{2} (- x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot (- 1 y^{2} x^{2}) |) = - 2 C$

Paso 5.7.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + 1 y^{2} x^{2} |) = - 2 C$

Paso 5.7.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |) = - 2 C$

Paso 5.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{- 2 C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = | 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Paso 5.10

Resuelve $y$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{- 2 C}$ .

$| 1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{- 2 C}$

Paso 5.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C}$

Paso 5.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.10.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1$

Paso 5.10.3.2

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.4

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

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Paso 5.10.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.4.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot - 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (- 1 + x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} (- 1^{2} + x^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.6

Reordena $- 1^{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.7

Factoriza.

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Paso 5.10.7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$

Paso 5.10.8

Divide cada término en $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.10.8.1

Divide cada término en $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.8.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.10.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.8.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.10.8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.8.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.10.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$ .

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Paso 5.10.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.3

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.4

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.10.10.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.5.2

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5.10.10.5.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Paso 5.10.10.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Paso 5.10.10.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Paso 5.10.10.5.6

Reescribe ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 5.10.10.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.10.10.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.10.10.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.10.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.10.10.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.10.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Paso 5.10.10.5.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.10.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- 2 C} - 1 + x^{2}) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2}) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$