Cálculo Ejemplos

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

Paso 1

Resta $(v^{3} - 3 v) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ .

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.2

Factoriza $v$ de $v^{3} - 3 v$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $v$ de $v^{3}$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $v$ de $- 3 v$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $v$ de $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ .

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ por $v^{2} - 1$ .

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = v$ y $b = 1$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $v^{3} - 3 v$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ al numerador.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $v^{3} - 3 v$ de $x (v^{3} - 3 v)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (v^{2} - 3)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.3.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.3.2

Cancela el factor común de $v^{2} - 3$ .

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Paso 4.2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.3.2.2

Divide $(v + 1) (v - 1)$ por $1$ .

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.4

Expande $(v + 1) (v - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.5.1.1

Multiplica $v$ por $v$ .

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $v$ .

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.1.3

Reescribe $- 1 v$ como $- v$ .

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.1.4

Multiplica $v$ por $1$ .

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.2

Suma $- v$ y $v$ .

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.5.3

Suma $v^{2}$ y $0$ .

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6.1.2

Divide $A (v^{2} - 3)$ por $1$ .

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6.4

Cancela el factor común de $v^{2} - 3$ .

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Paso 4.2.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.1.6.4.2

Divide $(B v + C) (v)$ por $1$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

Paso 4.2.1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

Paso 4.2.1.1.6.6

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.6.6.1

Mueve $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

Paso 4.2.1.1.6.6.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

Paso 4.2.1.1.7

Mueve $- 3 A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

Paso 4.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 4.2.1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = - 3 A$

Paso 4.2.1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

Paso 4.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

Paso 4.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = - 1$ .

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.3.2.2

Divide cada término en $- 3 A = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 4.2.1.3.2.2.1

Divide cada término en $- 3 A = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 4.2.1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1.3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.4

Resuelve $B$ en $1 = \frac{1}{3} + B$ .

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Paso 4.2.1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1.3.4.2.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.4.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.2.1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

Paso 4.2.1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

Paso 4.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica.

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Paso 4.2.1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $v$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.5.2.2

Suma $\frac{2 v}{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

Paso 4.2.1.5.4

Multiplica $\frac{2 v}{3}$ por $\frac{1}{v^{2} - 3}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Paso 4.2.1.5.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Paso 4.2.1.5.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

Sea $u = v^{2} - 3$ . Entonces $d u = 2 v d v$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.6.1

Deja $u = v^{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 4.2.6.1.1

Diferencia $v^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

Paso 4.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{2} - 3$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

Paso 4.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

Paso 4.2.6.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $v$ es $0$ .

$2 v + 0$

Paso 4.2.6.1.5

Suma $2 v$ y $0$ .

$2 v$

Paso 4.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Simplifica.

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Paso 4.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9

Simplifica.

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Paso 4.2.9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.2.9.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.9.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.11

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$