Cálculo Ejemplos

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

Paso 1

Resta $(v^{2} - 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = v$ y $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $x$ de $x (v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $x$ de $x v$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ y $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Paso 3.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $v^{2} - 1$ .

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Paso 3.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ al numerador.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Paso 3.7.2

Factoriza $v^{2} - 1$ de $x (v^{2} - 1)$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Paso 3.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Paso 3.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $v$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u = (v + 1) (v - 1)$ . Entonces $d u = 2 v d v$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u = (v + 1) (v - 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

Paso 4.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ es $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ donde $f (v) = v + 1$ y $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 4.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3.4.2

Multiplica $v + 1$ por $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Paso 4.2.2.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

Paso 4.2.2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

Paso 4.2.2.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

Paso 4.2.2.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.2.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

Paso 4.2.2.1.3.8.2

Multiplica $v - 1$ por $1$ .

$v + 1 + v - 1$

Paso 4.2.2.1.3.8.3

Suma $v$ y $v$ .

$2 v + 1 - 1$

Paso 4.2.2.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 v + 0$

Paso 4.2.2.1.3.8.4.2

Suma $2 v$ y $0$ .

$2 v$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $v$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

Paso 5.3

Expande $(v + 1) (v - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $v$ por $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.1.3

Reescribe $- 1 v$ como $- v$ .

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $v$ por $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.2

Suma $- v$ y $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

Paso 5.4.3

Suma $v^{2}$ y $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

Paso 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

Paso 5.7

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

Paso 5.8

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

Paso 5.10

Resuelve $v$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $| v^{2} x - x | = e^{C}$ .

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

Paso 5.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

Paso 5.10.3

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

Paso 5.10.4

Divide cada término en $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.10.4.1

Divide cada término en $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ por $x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 5.10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.10.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 5.10.4.2.1.2

Divide $v^{2}$ por $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 5.10.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.10.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.10.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 5.10.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Paso 5.10.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

Paso 5.10.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

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Paso 5.10.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Paso 5.10.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

Paso 5.10.6.3

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

Paso 5.10.6.4

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 5.10.6.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.10.6.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 5.10.6.5.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Paso 5.10.6.5.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Paso 5.10.6.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 5.10.6.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 5.10.6.5.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.10.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.10.6.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.10.6.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.6.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.10.6.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.6.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Paso 5.10.6.5.6.5

Simplifica.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Paso 5.10.6.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

Paso 5.10.6.7

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$