Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $y$ es $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ por $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.6

Combina $\frac{x^{2}}{9}$ y $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.7.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.7.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.10

Combina $x$ y $\frac{K^{2}}{9}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.11

Aplica la regla del producto a $\frac{K}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Paso 3.3.2.1.2.12

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Paso 3.4

Simplifica $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $x^{2}$ y $K$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Paso 3.4.2

Reordena $x$ y $K^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

Paso 3.4.3

Mueve $\frac{x^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

Paso 3.4.4

Mueve $\frac{K x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Paso 3.4.5

Reordena $\frac{K^{2} x}{9}$ y $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$