Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Niega el exponente de $e^{3 x^{3}}$ y quítalo del denominador.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Paso 1.2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Paso 1.2.3

Sea $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Deja $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Diferencia $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Paso 1.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x^{3}$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 1.2.3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Paso 1.2.3.1.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.2.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Paso 1.2.3.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Paso 1.2.3.1.4

Simplifica.

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Paso 1.2.3.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Paso 1.2.3.1.4.2

Reordena los factores en $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Paso 1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Paso 1.2.5

Aplica la regla de la constante.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica.

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Paso 1.2.6.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Paso 1.2.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Paso 1.2.6.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Paso 1.2.6.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Paso 1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Paso 1.2.6.4

Reordena los términos.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Paso 1.4

Combina $e^{- 3 x^{3}}$ y $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Paso 1.5

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ y $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.2

Combina $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ y $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ y $e^{3 x^{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $e^{3 x^{3}}$ de $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.3.2.4

Divide $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ por $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ por $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ por $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ por $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$