Cálculo Ejemplos

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ al numerador.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ al numerador.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Divide $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 5.1.3.1.2

Divide $\arctan (x)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 5.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

Paso 5.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Paso 5.2

Reescribe la ecuación como $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

Paso 5.3

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

Paso 5.4

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

Paso 5.5

Reescribe la ecuación como $\tan (\arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Paso 5.6

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Paso 5.7

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Paso 5.8

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Paso 5.9

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

Paso 5.10

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

Paso 5.11

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

Paso 5.12

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$