Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $9$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Paso 4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Paso 4.2.1.5

Evalúa el exponente.

$27 + 3 + K = 1$

Paso 4.2.2

Suma $27$ y $3$ .

$30 + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 30$

Paso 4.3.2

Resta $30$ de $1$ .

$K = - 29$

Paso 5

Sustituye $- 29$ por $K$ en $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 29$ por $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$