Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d C} = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d P = \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d P = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$P + C_{1} = \int \frac{- 216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P + C_{1} = \int - \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $C$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - \int \frac{216}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2.3.3

Dado que $216$ es constante con respecto a $C$ , mueve $216$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - (216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C)$

Paso 2.3.4

Multiplica $216$ por $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{{(C + 1)}^{\frac{3}{2}}} d C$

Paso 2.3.5

Sea $u = C + 1$ . Entonces $d u = d C$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = C + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d C}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $C + 1$ .

$\frac{d}{d C} [C + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $C + 1$ con respecto a $C$ es $\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$ .

$\frac{d}{d C} [C] + \frac{d}{d C} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ es $n C^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d C} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $C$ , la derivada de $1$ con respecto a $C$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$P + C_{1} = - 216 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.6.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.6.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 2.3.6.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$P + C_{1} = - 216 \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P + C_{1} = - 216 \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Reescribe $- 216 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 216 (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

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Paso 2.3.8.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = - 216 \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.8.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P + C_{1} = - 216 (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C_{2}$

Paso 2.3.8.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 216$ .

$P + C_{1} = 216 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.8.2.4

Combina $216$ y $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$P + C_{1} = \frac{216 \cdot 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.8.2.5

Multiplica $216$ por $2$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{u^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $C + 1$ .

$P + C_{1} = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$P = \frac{432}{{(C + 1)}^{\frac{1}{2}}} + K$